Exponentiation en ligne
Dans la vie de tous les jours, vous avez sûrement rencontré une situation telle que vous deviez élever un nombre à une puissance ou effectuer plusieurs autres actions mathématiques afin de faire des calculs financiers, par exemple, lors du calcul de la rentabilité d'un dépôt dans une banque ou de l'adéquation d'un prêt hypothécaire dans les conditions, et à portée de main pour cela. au moment où il n'y avait pas de calculatrice électronique ordinaire ou de programme spécial? Dans ce cas, ce calculateur de diplômes en ligne pratique et facile à utiliser vous sera indispensable..
Avec son aide, vous pouvez saisir des données, tout en utilisant les boutons visuels de l'interface ou directement le clavier. De plus, la calculatrice en ligne fournie vous permet de calculer des expressions complexes, par exemple: (21-45) / (1,52) (8 + 2 * 2) = - 96.
Table des degrés des nombres naturels de 1 à 25 en algèbre
Lors de la résolution de divers exercices mathématiques, vous devez souvent augmenter le nombre à un degré, principalement de 1 à 10. Et afin de trouver ces valeurs plus rapidement, nous avons créé un tableau des degrés en algèbre, que je publierai sur cette page.
Vous pouvez également voir ici des tableaux de carrés et de cubes.
Pour commencer, considérez les nombres de 1 à 6. Les résultats ici ne sont pas encore très gros, vous pouvez tous les vérifier sur une calculatrice ordinaire.
- 1 et 2 à la puissance de 1 à 10
1 1 = 1
1 2 = 1
1 3 = 1
1 4 = 1
1 5 = 1
1 6 = 1
1 7 = 1
1 8 = 1
1 9 = 1
1 10 = 12 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1 024 - 3 et 4 à la puissance de 1 à 10
3 1 = 3
3 2 = 9
3 3 = 27
3 4 = 81
3 5 = 243
3 6 = 729
3 7 = 2 187
3 8 = 6 561
3 9 = 19 683
3 10 = 59 0494 1 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
4 4 = 256
4 5 = 1 024
4 6 = 4096
4 7 = 16 384
4 8 = 65 536
4 9 = 262 144
4 10 = 1 048 576 - 5 et 6 à la puissance de 1 à 10
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
5 5 = 3 125
5 6 = 15 625
5 7 = 78 125
5 8 = 390 625
5 9 = 1 953 125
5 10 = 9 765 6256 1 = 6
6 2 = 36
6 3 = 216
6 4 = 1 296
6 5 = 7 776
6 6 = 46 656
6 7 = 279 936
6 8 = 1 679 616
6 9 = 10 077 696
6 10 = 60 466 176 - 7 et 8 à la puissance de 1 à 10
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2 401
7 5 = 16 807
7 6 = 117 649
7 7 = 823 543
7 8 = 5 764 801
7 9 = 40 353 607
7 10 = 282 475 2498 1 = 8
8 2 = 64
8 3 = 512
8 4 = 4096
8 5 = 32 768
8 6 = 262 144
8 7 = 2 097 152
8 8 = 16 777 216
8 9 = 134 217 728
8 10 = 1 073 741 824 - 9 et 10 à la puissance de 1 à 10
9 1 = 9
9 2 = 81
9 3 = 729
9 4 = 6 561
9 5 = 59 049
9 6 = 531 441
9 7 = 4 782 969
9 8 = 43 046 721
9 9 = 387 420 489
9 10 = 3 486 784 40110 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1 000
10 4 = 10 000
10 5 = 100 000
10 6 = 1 000 000
10 7 = 10 000 000
10 8 = 100 000 000
10 9 = 1 000 000 000
10 10 = 10 000 000 000 - 11 et 12 à la puissance de 1 à 10
11 1 = 11
11 2 = 121
11 3 = 1331
11 4 = 14 641
11 5 = 161051
11 6 = 1 771 561
11 7 = 19 487 171
11 8 = 214 358 881
11 9 = 2 357 947 691
11 10 = 25 937 424 60112 1 = 12
12 2 = 144
12 3 = 1 728
12 4 = 20 736
12 5 = 248 832
12 6 = 2 985 984
12 7 = 35 831 808
12 8 = 429 981 696
12 9 = 5 159 780 352
12 10 = 61917 364 224 - 13 et 14 aux puissances de 1 à 10
13 1 = 13
13 2 = 169
13 3 = 2 197
13 4 = 28 561
13 5 = 371 293
13 6 = 4 826 809
13 7 = 62 748 517
13 8 = 815 730 721
13 9 = 10 604 499 373
13 10 = 137 858 491 84914 1 = 14
14 2 = 196
14 3 = 2 744
14 4 = 38 416
14 5 = 537 824
14 6 = 7 529 536
14 7 = 105 413 504
14 8 = 1 475 789 056
14 9 = 20 661 046 784
14 10 = 289 254 654 976 - 15 et 16 aux puissances de 1 à 10
15 1 = 15
15 2 = 225
15 3 = 3 375
15 4 = 50 625
15 5 = 759 375
15 6 = 11390625
15 7 = 170 859 375
15 8 = 2 562 890 625
15 9 = 38 443 359 375
15 10 = 576 650 390 62516 1 = 16
16 2 = 256
16 3 = 4 096
16 4 = 65 536
16 5 = 1 048 576
16 6 = 16 777 216
16 7 = 268 435 456
16 8 = 4 294 967 296
16 9 = 68 719 476 736
16 10 = 1 099 511 627 776 - 17 et 18 aux puissances de 1 à 10
17 1 = 17
17 2 = 289
17 3 = 4 913
17 4 = 83521
17 5 = 1 419 857
17 6 = 24 137 569
17 7 = 410 338 673
17 8 = 6 975 757 441
17 9 = 118 587 876 497
17 10 = 2 015 993 900 44918 1 = 18
18 2 = 324
18 3 = 5 832
18 4 = 104976
18 5 = 1 889 568
18 6 = 34012224
18 7 = 612 220 032
18 8 = 11019960576
18 9 = 198 359 290 368
18 10 = 3 570 467 226 624 - 19 et 20 aux puissances de 1 à 10
19 1 = 19
19 2 = 361
19 3 = 6 859
19 4 = 130 321
19 5 = 2 476 099
19 6 = 47 045 881
19 7 = 893 871 739
19 8 = 16 983563041
19 9 = 322 687 697 779
19 10 = 6 131 066 257 80120 1 = 20
20 2 = 400
20 3 = 8 000
20 4 = 160 000
20 5 = 3 200 000
20 6 = 64 000 000
20 7 = 1 280 000 000
20 8 = 25,6 millions
20 9 = 512 000 000 000
20 10 = 10 240 000 000 000 - 21 et 22 aux puissances de 1 à 10
21 1 = 21
21 2 = 441
21 3 = 9 261
21 4 = 194 481
21 5 = 4 084 101
21 6 = 85 766 121
21 7 = 1 801 088 541
21 8 = 37 822 859 361
21 9 = 794 280 046 581
21 10 = 16 679 880 978 20122 1 = 22
22 2 = 484
22 3 = 10 648
22 4 = 234 256
22 5 = 5 153 632
22 6 = 113 379 904
22 7 = 2 494 357 888
22 8 = 54 875 873 536
22 9 = 1 207 269 217 792
22 10 = 26 559 922 79 1424 - 23 et 24 à la puissance de 1 à 10
25 à la puissance de 1 à 1023 1 = 23
23 2 = 529
23 3 = 12 167
23 4 = 279 841
23 5 = 6 436 343
23 6 = 148 035 889
23 7 = 3 404 825 447
23 8 = 78 310 985 281
23 9 = 1 801 152 661 463
23 10 = 41 426 511 213 64924 1 = 24
24 2 = 576
24 3 = 13 824
24 4 = 331 776
24 5 = 7 962 624
24 6 = 191 102 976
24 7 = 4 586 471 424
24 8 = 110 075 314 176
24 9 = 2641807540224
24 10 = 63 403380 965 376
');> // ->25 1 = 25
25 2 = 625
25 3 = 15 625
25 4 = 390 625
25 5 = 9 765 625
25 6 = 244 140 625
25 7 = 6 103 515 625
25 8 = 152587890625
25 9 = 3 814 697 265 625
25 10 = 95 367 431 640 625Afin d'élever le nombre "a" à la puissance "b", "a" doit être multiplié par lui-même "b" fois!
Par exemple, au début de l'étude d'un ordinateur, nous considérons le code binaire - c'est-à-dire la langue dans laquelle l'ordinateur "parle". Et il est souvent utilisé différentes puissances de deux, que vous devez savoir. De vous savez combien sera deux dans le huitième?
Tableau des degrés d'algèbre
Cette page contient un tableau des puissances de 2 à 10 pour les entiers naturels de 1 à 20. Exemple d'utilisation: on retrouve le nombre 9 dans le tableau (à gauche), puis dans la deuxième colonne on voit le carré du nombre, qui est 81. Dans la troisième colonne du tableau, les valeurs des cubes. Voir aussi: table des carrés, table des racines.
Exponentiation en ligne
Entrez le nombre et le degré, puis appuyez sur =.
Table des degrés
Exemple: 2 3 = 8 Puissance: Nombre 2 3 4 cinq 6 7 8 neuf Dix 2 4 8 seize 32 64 128 256 512 1 024 3 neuf 27 81 243 729 2 187 6 561 19683 59 049 4 seize 64 256 1 024 4096 16384 65536 262 144 1 048 576 cinq 25 125 625 3 125 15 625 78125 390 625 1 953 125 9 765 625 6 36 216 1 296 7776 46656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176 7 49 343 2401 16807 117649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249 8 64 512 4096 32768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824 neuf 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401 Dix cent 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 Onze 121 1331 14641 161 051 1 771 561 19487171 214 358 881 2 357 947 691 25 937 424 601 12 144 1728 20736 248 832 2 985 984 35831808 429 981 696 5 159 780 352 61 917 364 224 13 169 2 197 28 561 371 293 4 826 809 62 748 517 815 730 721 10 604 499 373 137 858 491 849 Quatorze 196 2744 38416 537 824 7 529 536 105 413 504 1 475 789 056 20 661 046 784 289 254 654 976 15 225 3 375 50625 759375 11 390 625 170 859 375 2 562 890 625 38 443 359 375 576 650 390 625 seize 256 4096 65536 1 048 576 16 777 216 268 435 456 4 294 967 296 68 719 476 736 1 099 511 627 776 17 289 4913 83 521 1 419 857 24 137 569 410 338 673 6 975 757 441 118 587 876 497 2 015 993 900 449 18 324 5832 104 976 1 889 568 34 012 224 612 220 032 11019 960 576 198 359 290 368 3 570 467 226 624 dix-neuf 361 6 859 130321 2 476 099 47 045 881 893 871 739 16 983563041 322 687 697 779 6 131 066 257 801 20 400 8 000 160 000 3 200 000 64 000 000 1 280 000 000 25 600 000 000 512 000 000 000 10,240,000,000,000 21 441 9 261 194 481 4084 101 85766 121 1 801 088 541 37 822 859 361 794 280 046 581 16 679 880 978 201 22 484 10648 234256 5 153 632 113 379 904 2 494 357 888 54 875 873 536 1 207 269 217 792 26 559 922 79 1 424 23 529 12167 279 841 6 436 343 148 035 889 3 404 825 447 78 310 985 281 1 801 152 661 463 41 426 511 213 649 24 576 13 824 331 776 7 962 624 191 102 976 4 586 471 424 110 075 314 176 2641807540224 63 403 380 965 376 25 625 15 625 390 625 9 765 625 244 140 625 6 103 515 625 152 587 890 625 3 814 697 265 625 95 367 431 640 625 Propriétés du degré - 2 parties
Tableau des degrés de base en algèbre sous une forme compacte (image, pratique à imprimer), en haut du nombre, sur le côté du degré:
(peut être ouvert dans une nouvelle fenêtre en cliquant sur l'image)
Le tableau mathématique complet peut être téléchargé gratuitement en enregistrant simplement l'image ci-dessus avec le bouton droit de la souris.
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Un groupe avec un tas d'informations utiles (inscrivez-vous si vous avez un examen ou un examen):
6ème numéro de puissance
L'exponentiation est la multiplication d'un nombre par lui-même un nombre donné de fois.Vous pouvez effectuer rapidement cette opération mathématique simple en utilisant notre programme en ligne. Pour ce faire, entrez la valeur initiale dans le champ correspondant et appuyez sur le bouton.
Cette page présente la calculatrice en ligne la plus simple pour élever un nombre à la 6ème puissance. Avec cette calculatrice, vous pouvez convertir n'importe quel nombre à la deuxième puissance en un clic.Table des degrés
Quel est le degré d'un nombre?
La puissance du nombre "a" avec un exposant naturel "n" supérieur à 1 est le produit de "n" facteurs identiques, dont chacun est égal au nombre "a".
L'enregistrement "a n" se lit comme suit: "a à la puissance n" ou "la puissance n-ième du nombre a".
Où:
a est la base du degré;
n - exposant.Tableau des notes de 1 à 10
n 1 2 3 4 cinq 6 7 8 neuf Dix 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 2 4 8 seize 32 64 128 256 512 1 024 3 n 3 neuf 27 81 243 729 2 187 6 561 19683 59 049 4 n 4 seize 64 256 1 024 4096 16384 65536 262 144 1 048 576 5 n cinq 25 125 625 3 125 15 625 78125 390 625 1 953 125 9 765 625 6 n 6 36 216 1 296 7776 46656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176 7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249 8 n 8 64 512 4096 32768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824 9 n neuf 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401 10 n Dix cent 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 Tableau des notes de 1 à 10
1 1 = 1
1 2 = 1
1 3 = 1
1 4 = 1
1 5 = 1
1 6 = 1
1 7 = 1
1 8 = 1
1 9 = 1
1 10 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024
3 1 = 3
3 2 = 9
3 3 = 27
3 4 = 81
3 5 = 243
3 6 = 729
3 7 = 2187
3 8 = 6561
3 9 = 19683
3 10 = 59049
4 1 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
4 4 = 256
4 5 = 1024
4 6 = 4096
4 7 = 16384
4 8 = 65536
4 9 = 262144
4 10 = 1048576
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
5 5 = 3125
5 6 = 15625
5 7 = 78125
5 8 = 390625
5 9 = 1953125
5 10 = 9765625
6 1 = 6
6 2 = 36
6 3 = 216
6 4 = 1296
6 5 = 7776
6 6 = 46656
6 7 = 279936
6 8 = 1679616
6 9 = 10077696
6 10 = 60466176
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
7 6 = 117649
7 7 = 823543
7 8 = 5764801
7 9 = 40353607
7 10 = 282475249
8 1 = 8
8 2 = 64
8 3 = 512
8 4 = 4096
8 5 = 32768
8 6 = 262144
8 7 = 2097152
8 8 = 16777216
8 9 = 134217728
8 10 = 1073741824
9 1 = 9
9 2 = 81
9 3 = 729
9 4 = 6561
9 5 = 59049
9 6 = 531441
9 7 = 4782969
9 8 = 43046721
9 9 = 387420489
9 10 = 3486784401
10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1 000
10 4 = 10 000
10 5 = 100 000
10 6 = 1 000 000
10 7 = 10 000 000
10 8 = 100000000
10 9 = 1 000 000 000
10 10 = 10000000000
Calculateur de diplômes en ligne
La table des degrés contient les valeurs des nombres naturels positifs de 1 à 10.
L'enregistrement 3 5 indique "trois au cinquième degré". Dans cet enregistrement, le nombre 3 est appelé la base de la puissance, le nombre 5 est l'exposant, l'expression 3 5 est appelée la puissance.
L'exposant indique le nombre de facteurs dans le produit, 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
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6 à 45 degrés
1 1 = 1
1 2 = 1
1 3 = 1
1 4 = 1
1 5 = 1
1 6 = 1
1 7 = 1
1 8 = 1
1 9 = 1
1 10 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024
3 1 = 3
3 2 = 9
3 3 = 27
3 4 = 81
3 5 = 243
3 6 = 729
3 7 = 2187
3 8 = 6561
3 9 = 19683
3 10 = 59049
4 1 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
4 4 = 256
4 5 = 1024
4 6 = 4096
4 7 = 16384
4 8 = 65536
4 9 = 262144
4 10 = 1048576
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
5 5 = 3125
5 6 = 15625
5 7 = 78125
5 8 = 390625
5 9 = 1953125
5 10 = 9765625
6 1 = 6
6 2 = 36
6 3 = 216
6 4 = 1296
6 5 = 7776
6 6 = 46656
6 7 = 279936
6 8 = 1679616
6 9 = 10077696
6 10 = 60466176
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
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7 7 = 823543
7 8 = 5764801
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7 10 = 282475249
8 1 = 8
8 2 = 64
8 3 = 512
8 4 = 4096
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8 7 = 2097152
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8 9 = 134217728
8 10 = 1073741824
9 1 = 9
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9 9 = 387420489
9 10 = 3486784401
10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1 000
10 4 = 10 000
10 5 = 100 000
10 6 = 1 000 000
10 7 = 10 000 000
10 8 = 100000000
10 9 = 1 000 000 000
10 10 = 10000000000
n 1 2 3 4 cinq 6 7 8 neuf Dix 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 2 4 8 seize 32 64 128 256 512 1024 3 n 3 neuf 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 4 n 4 seize 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576 5 n cinq 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625 6 n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176 7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249 8 n 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824 9 n neuf 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401 10 n Dix cent 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10000000000 Table des degrés
La table des degrés contient les valeurs des nombres naturels positifs de 1 à 10.
L'enregistrement 3 5 indique "trois au cinquième degré". Dans cet enregistrement, le nombre 3 est appelé la base de la puissance, le nombre 5 est l'exposant, l'expression 3 5 est appelée la puissance.
L'exposant indique le nombre de facteurs dans le produit, 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Pour télécharger le tableau des degrés cliquez sur la vignette.
Exponentiation: règles, exemples
Contenu:
Nous avons déterminé quel est le degré d'un nombre en général. Nous devons maintenant comprendre comment le calculer correctement, c'est-à-dire élever les nombres à une puissance. Dans ce matériel, nous analyserons les règles de base pour calculer le degré dans le cas d'un exposant entier, naturel, fractionnaire, rationnel et irrationnel. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples.
Concept d'exponentiation
Commençons par formuler des définitions de base.
L'exponentiation est le calcul de la puissance d'un nombre.
Autrement dit, les mots «calculer la valeur d'une puissance» et «s'élever à une puissance» signifient la même chose. Donc, si le problème est "Élever le nombre 0, 5 à la cinquième puissance", il doit être compris comme "calculer la valeur de la puissance (0, 5) 5.
Nous allons maintenant donner les règles de base à suivre dans de tels calculs..
Comment élever un nombre à une puissance naturelle
Rappelons-nous quel est le degré d'un nombre avec un exposant naturel. Pour un degré de base a et d'exposant n, ce sera le produit du n-ième nombre de facteurs, dont chacun est égal à a. Cela peut être écrit comme ceci:
Pour calculer la valeur de la puissance, vous devez effectuer l'action de multiplication, c'est-à-dire multiplier les bases de la puissance un nombre spécifié de fois. Le concept même d'un diplôme avec un indicateur naturel repose sur la capacité à se multiplier rapidement. Donnons des exemples.
Condition: augmenter - 2 à la puissance 4.
Décision
En utilisant la définition ci-dessus, nous écrivons: (- 2) 4 = (- 2) · (- 2) · (- 2) · (- 2). Ensuite, il suffit de suivre les étapes spécifiées et d'obtenir 16.
Prenons un exemple plus compliqué.
Calculer la valeur 3 2 7 2
Décision
Cet enregistrement peut être réécrit sous la forme 3 2 7 · 3 2 7. Plus tôt, nous avons examiné comment multiplier correctement les nombres mixtes mentionnés dans la condition.
Exécutons ces actions et obtenons la réponse: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Si le problème indique la nécessité d'élever des nombres irrationnels à une puissance naturelle, nous devrons d'abord arrondir leurs bases à un chiffre qui nous permettra d'obtenir une réponse de la précision requise. Regardons un exemple.
Carré π.
Décision
D'abord, arrondissons-le au centième près. Alors π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3. 14159, alors nous obtenons un résultat plus précis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Notez que le besoin de calculer les puissances des nombres irrationnels dans la pratique se pose relativement rarement. On peut alors écrire la réponse sous la forme de la puissance elle-même (ln 6) 3 ou transformer, si possible: 5 7 = 125 5.
Séparément, il convient d'indiquer quelle est la première puissance d'un nombre. Ici, vous pouvez simplement vous rappeler que tout nombre élevé à la première puissance restera lui-même:
Cela ressort clairement de l'entrée.
Cela ne dépend pas de la base du diplôme.
Ainsi, (- 9) 1 = - 9, et 7 3, élevé à la première puissance, restera égal à 7 3.
Comment élever un nombre à une puissance entière
Pour plus de commodité, nous analyserons trois cas séparément: si l'exposant est un entier positif, s'il vaut zéro et s'il s'agit d'un entier négatif.
Dans le premier cas, cela revient à élever à une puissance naturelle: après tout, les entiers positifs appartiennent à l'ensemble des nombres naturels. Nous avons déjà décrit comment travailler avec de tels diplômes ci-dessus..
Voyons maintenant comment monter correctement à la puissance zéro. Avec une base différente de zéro, ce calcul génère toujours 1. Nous avons déjà expliqué plus haut que la puissance 0 de a peut être définie pour tout nombre réel non égal à 0, et a 0 = 1.
5 0 = 1, (- 2, 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - non défini.
Nous n'avons qu'un cas d'un degré avec un exposant négatif entier. Nous avons déjà discuté que de tels degrés peuvent être écrits comme une fraction 1 a z, où a est un nombre quelconque et z est un exposant négatif entier. Nous voyons que le dénominateur de cette fraction n'est rien de plus qu'une puissance ordinaire avec un exposant positif entier, et nous avons déjà appris à le calculer. Donnons des exemples de tâches.
Élevez 2 à la puissance - 3.
Décision
En utilisant la définition ci-dessus, nous écrivons: 2 - 3 = 1 2 3
Calculons le dénominateur de cette fraction et obtenons 8: 2 3 = 2 2 2 = 8.
Alors la réponse est: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Élever 1, 43 à la puissance - 2.
Décision
Reformulons: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Nous calculons le carré du dénominateur: 1,43 · 1,43. Les fractions décimales peuvent être multipliées de cette manière:
En conséquence, nous avons obtenu (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Il nous reste à écrire ce résultat sous la forme d'une fraction ordinaire, pour laquelle il faut le multiplier par 10 mille (voir le matériel sur la conversion des fractions).
Réponse: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Un cas distinct élève un nombre à la première puissance moins. La valeur de ce degré est égale à l'inverse de la valeur de base d'origine: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Exemple: 3 - 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4.
Comment élever un nombre à une puissance fractionnaire
Pour effectuer une telle opération, nous devons rappeler la définition de base d'un degré avec un exposant fractionnaire: a m n = a m n pour tout a positif, entier m et n naturel.
Ainsi, le calcul de la puissance fractionnaire doit être effectué en deux étapes: monter à une puissance entière et trouver la racine de la nième puissance.
On a l'égalité a m n = a m n, qui, étant donné les propriétés des racines, est généralement utilisée pour résoudre des problèmes sous la forme a m n = a n m. Cela signifie que si nous élevons le nombre a à une puissance fractionnaire m / n, alors nous extrayons d'abord la nième racine de a, puis nous élevons le résultat à une puissance avec un exposant entier m.
Illustrons par un exemple.
Calculer 8-2 3.
Décision
Méthode 1. Selon la définition de base, nous pouvons la représenter comme suit: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Calculons maintenant le degré sous la racine et extrayons la troisième racine du résultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Méthode 2. Nous transformons l'égalité de base: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Après cela, extrayez la racine 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 et carré le résultat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
On voit que les solutions sont identiques. Vous pouvez utiliser comme vous le souhaitez.
Il y a des moments où le degré a un exposant exprimé sous forme de nombre mixte ou de fraction décimale. Pour la simplicité des calculs, il est préférable de le remplacer par une fraction ordinaire et de compter comme indiqué ci-dessus.
Élever 44,89 à la puissance 2,5.
Décision
Convertir la valeur de l'indicateur en une fraction ordinaire: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.
Et maintenant nous effectuons dans l'ordre toutes les actions indiquées ci-dessus: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489100 5 = 4489100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107100000 = 13 501, 25107
Réponse: 13 501, 25107.
S'il y a de grands nombres dans le numérateur et le dénominateur d'un exposant fractionnaire, alors le calcul de ces degrés avec des exposants rationnels est une tâche plutôt difficile. Cela nécessite généralement de l'informatique..
Arrêtons-nous séparément sur le degré avec une base nulle et un exposant fractionnaire. Une expression de la forme 0 m n peut avoir la signification suivante: si m n> 0, alors 0 m n = 0 m n = 0; si m n 0 zéro reste indéfini. Ainsi, élever zéro à une puissance positive fractionnaire conduit à zéro: 0 7 12 = 0, 0 3 2 5 = 0, 0 0, 024 = 0 et à un entier négatif - peu importe: 0 - 4 3.
Comment élever un nombre à une puissance irrationnelle
Le besoin de calculer la valeur du degré, dans l'exposant duquel il y a un nombre irrationnel, ne se pose pas si souvent. En pratique, la tâche se limite généralement au calcul d'une valeur approximative (jusqu'à un certain nombre de décimales). Ceci est généralement pris en compte sur un ordinateur en raison de la complexité de ces calculs, nous ne nous attarderons donc pas sur cela en détail, nous n'indiquerons que les principales dispositions.
Si nous devons calculer la valeur de l'exposant a avec un exposant irrationnel a, alors nous prenons l'approximation décimale de l'exposant et le calculons. Le résultat sera une réponse approximative. Plus l'approximation décimale est précise, plus la réponse est précise. Montrons avec un exemple:
Calculez la valeur approximative de 2 à la puissance de 1,174367.
Décision
Nous nous limiterons à l'approximation décimale a n = 1, 17. Faisons des calculs en utilisant ce nombre: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Si nous prenons, par exemple, l'approximation a n = 1, 1743, alors la réponse sera un peu plus précise: 2 1, 174367....... ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Nombres. Diplôme de.
C'est un fait bien connu que la somme de plusieurs termes égaux peut être trouvée en utilisant la multiplication. Par exemple: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. À propos d'une telle expression, ils disent que la somme de termes égaux est pliée en un produit. Inversement, si nous lisons cette égalité de droite à gauche, nous constatons que nous avons élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5 = 5 6.
Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent "cinq à la sixième puissance".
L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où:
5 - la base du diplôme;
6 - exposant.
Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est plié en une puissance sont appelées exponentiation.
En général, un degré de base "a" et d'exposant "n" s'écrit comme suit
Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs, dont chacun est égal à a
Si la base du degré "a" est 1, alors la valeur du degré pour tout n naturel sera 1. Par exemple, 1 5 = 1, 1 256 = 1
Si nous élevons le nombre «a» à la première puissance, alors nous obtenons le nombre a lui-même: a 1 = a
Si vous augmentez n'importe quel nombre à la puissance zéro, nous en obtenons un à la suite de calculs. a 0 = 1
Les deuxième et troisième degrés du nombre sont considérés comme spéciaux. Des noms ont été inventés pour eux: le deuxième degré est appelé le carré du nombre, le troisième - le cube de ce nombre.
N'importe quel nombre peut être élevé à une puissance - positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne sont pas utilisées:
-trouver le degré d'un nombre positif donne un nombre positif.
-lors du calcul de zéro en puissance naturelle, on obtient zéro.
- lors du calcul de la puissance d'un nombre négatif, le résultat peut être un nombre positif ou négatif. Cela dépend si l'exposant était pair ou impair..
Si nous résolvons plusieurs exemples de calcul de la puissance des nombres négatifs, il s'avère que si nous calculons la puissance impaire d'un nombre négatif, le résultat sera un nombre avec un signe moins. Depuis lors de la multiplication d'un nombre impair de facteurs négatifs, nous obtenons une valeur négative.
Si nous calculons un degré pair pour un nombre négatif, le résultat sera un nombre positif. Depuis la multiplication d'un nombre pair de facteurs négatifs, nous obtenons une valeur positive.
Propriétés de qualité d'exposant naturel.
Pour multiplier les degrés avec les mêmes bases, on ne change pas les bases, mais on ajoute les exposants:
par exemple: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Pour diviser les degrés avec les mêmes bases, on ne change pas la base, mais soustrayons les exposants:
par exemple: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Lors du calcul de l'élévation d'une puissance à une puissance, on ne change pas la base, mais on multiplie les exposants les uns par les autres.
par exemple: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
S'il est nécessaire de calculer l'exponentiation du produit, alors chaque facteur est élevé à cette puissance
par exemple: (2 3) 3 = 2 n 3 m,
Lors de l'exécution de calculs pour élever une fraction à une puissance, nous élevons le numérateur et le dénominateur de la fraction à cette puissance
par exemple: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3.
La séquence d'exécution des calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un degré.
Lors de l'exécution de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des degrés, tout d'abord, une élévation à une puissance est effectuée, puis les actions de multiplication et de division, et seulement ensuite les opérations d'addition et de soustraction.
S'il est nécessaire d'évaluer une expression contenant des crochets, alors d'abord, dans l'ordre ci-dessus, nous faisons les calculs entre parenthèses, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.
Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de degrés prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.